Родился 25 апреля 1964 года в нью-йоркском районе Квинс. Окончив университет и нью-йоркскую Академию драматических искусств, Азария в 1988 году дебютировал на телевидении в картине «Боевик Фрэнк Нит-ти» и в последующие годы сыграл еще ряд эпизодических ролей в телефильмах и телесериалах. В 1989 году Азария получил работу в мультсериале «Симпсоны», где он и сейчас озвучивает несколько персонажей - прежде всего бармена Мо. Если в годы своих студенческих экспериментов в театре Азария исполнял драматические роли в пьесах вроде «Гамлета» и «Дяди Вани», то Голливуд востребовал его преимущественно как гротескного комика и голосового пародиста.

Прорывом к славе для него стала роль гипертрофированно женственного гея-слуги Агадора в комедии Майка Николса «Клетка для пташек» (1996). Звездой первой величины актера подобная работа, разумеется, не сделала, но позволила ему в дальнейшем получать роли второго плана в таких масштабных постановках, как «Большие надежды» (1998) Альфонсо Куарона, «Год- зилла» (1998) Роланда Эммериха, «Колыбель будет качаться» (1999) Тима Роббинса и «Таинственные люди» (1999) Кинки Ашера. Параллельно Азария продолжал озвучивать мультфильмы (например, «Анастасию» 1997 года) и играть в телесериалах. Главным проектом, однако, для него оставались «Симпсоны», за которых он удостоился трех «Эмми» (в 1998, 2001 и 2003 годах). Не знаете какой фильм посмотреть? Сайт отзывов посмотрите в таком случае.

В 1999 году он женился на Хелен Хант, но через полтора года совместной жизни актриса подала на развод. В 2004 году актер снял свой первый проект как режиссер - это была короткометражка «Никто не идеален».